SEMINARIO: MEDIDAS DE VARIABILIDAD

RECORRIDO VERDADERO

2.    DESVIACIÒN MEDIA

3.    VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

 

MEDIDAS DE VARIABILIDAD:

Tratan de medir el grado de  concentración o dispersión de los datos de una serie, es decir, miden el grado en el que los datos de la serie se encuentran cercano o alejados entre si o de alguna medida de tendencia central.

 

RECORRIDO VERDADERO:

Indica la longitud del intervalo en el cual se encuentran todos los datos de la serie, por ejemplo:

X _: 28, 27, 15, 16, 14,18, 21, 30

El recorrido verdadero puede calcularse aplicando la siguiente formula:

Si la variable es discreta:

Rv= Vmax – Vmin 

Rv= 30 – 14

Rv= 16

 

                            Rv     14                                                           30

 

Si la variable es contínua:

Rv= Vmax – Vmin + S

Rv= 30 – 14 + 1

Rv= 17

 

                            Rv     13,5                                                      30,5

NOTA:

Mientras no se diga lo contrario supondremos que la variable es continua.

 

El Recorrido Verdadero es la medida de variabilidad más sencilla de calcular, sin embargo esta ventaja se transforma en una desventaja ya que sólo toma en cuenta los valores extremos de la serie (Valor Máximo y Valor Mínimo) y no proporciona información acerca de los datos centrales de la distribución.

 

DESVIACIÓN MEDIA:

Es el promedio de las distancia de cada uno de los valores de la serie a la Media Aritmética de los datos. Es decir, dada una serie de datos X₁, X₂, X₃, …Xn con Media Aritmética (X), entonces:

 

∑ (Xi-Ȳ))/N

 

Dónde aparece  el símbolo Ȳ, debería ser el símbolo para la Media Aritmética

Ejemplo:

Dada una serie de datos, determine el valor de  la Desviación Media.

Xi= 16, 15, 10, 18,12        

Dónde aparece  el símbolo Ȳ, debería ser el símbolo para la Media Aritmética

 

Xi                    Fi        Xi-Ȳ   Ӏ Xi - ȲӀ

18                   1          3,8       3,8

16                   1          1,8       1,8

15                   1          0,8       0,8

12                   1         -2,2       2,2

10                   1         -4,2       4,2

Σ Xi =71        N=5                      Σ Ӏ Xi - ȲӀ= 12,8

 

Ȳ= ∑  Xi /N = 71 /5 = 14,2

 

∑ (Xi- Ȳ))/N = 12,8 / 5 = 2,56

 

Cuando  comparamos los resultados algunas serie de datos, se puede observar que a mayor valor de la Desviación Media  se puede deducir  mayor será la separación de los datos (mayor dispersión) con respecto a la Media Aritmética de esa serie y viceversa, a menor valor de la Desviación Media  se puede deducir  menor será la separación de los datos (menor dispersión) con respecto a la Media Aritmética de esa serie.

 

VARIANZA Y DESVIACION TÍPICA (O ESTANDAR)

Ambas medidas se encuentran estrechamente relacionadas. La fórmula para proceder a su cálculo es la siguiente:

PARA DATOS NO AGRUPADOS:

Para Muestra:

VARIANZA:                          S²x = (Σ (Xi- Ȳ)² ) /  N – 1    

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Raíz (Σ (Xi- Ȳ)² /  N – 1)    

Para Población:

 VARIANZA:                  ẟ²x = (Σ (Xi- Ȳ)² ) /  N                                   

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       ẟ x =  Ѵ² (Σ (Xi- Ȳ)² /  N)   

NOTA:

Mientras no se diga lo contrario supondremos que la variable es continua.

 

Ejemplo:

Determínese el valor de la Varianza y la Desviación Típica del siguiente conjunto de datos:

 

Xi = 7, 10, 8, 6, 4, 5

 

 

Xi                    Fi        Xi-Ȳ   (Xi - Ȳ)²

10                   1          3,4       11,56

8                     1          1,4       1,96

7                     1          0,4       0,16

6                     1         -0,6       0,36

5                     1         -1,6       2,56

5                     1         -2,6       6,76

Σ Xi =40        N=6                      Σ (Xi - Ȳ)²= 23,76

                                        

VARIANZA:                  

S²x = (Σ (Xi- Ȳ)² ) /  N – 1

S²x = (23,76 ) /  6 – 1

S²x = (23,76 ) /  5

S²x = 4,672

 

DESVIACIÓN TÍPICA:      

Sx =  Raíz (Σ (Xi- Ȳ)² /  N – 1)    

Sx =  Raíz (4,672) = 2,161 

CÁLCULO DE LA VARIANZA Y DESVIACION TÍPICA (O ESTANDAR)

PARA DATOS AGRUPADOS EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA:

Estudiaremos 3 métodos. Los dos primeros métodos se pueden aplicar en Distribuciones de Frecuencia de cualquier tipo (con intervalos de igual o diferente amplitud) y el tercer método sólo puede ser aplicado a Distribuciones de Frecuencia que presentan intervalos de igual amplitud.

Consideremos la siguiente Distribuciones de Frecuencia:

Clases           Fi

32   -   36       6

27   -   31       8

22   -   26       10

17   -   21       12

12   -   16       5

7     -   11        9

                        N=50

Resolveremos el ejercicio en la medida que vamos aplicando los 3 métodos.

 

I MÉTODO:

Fórmulas que se aplican:

Para Muestra

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . Xi²) - (Σ (Fi . Ȳ)² )] /  N – 1    

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Para Población

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . Xi²) - (Σ (Fi . Ȳ)² )] /  N    

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Resolviendo el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda para luego sustituir y calcular.

 

 

 

Clases           Fi        Xi        Xi.Fi               Xi²       (Fi. Xi²)

32   -   36       6          34       204                 1156   6936

27   -   31       8          29       232                 841     6628

22   -   26       10       24       240                 576     5760

17   -   21       12       19       228                 361     4332

12   -   16       5          14       70                   196     980

7     -   11        9          9          81                   81       729

                        N=50      Σ Xi.Fi=1055                    Σ (Fi. Xi²)=25.965

Resolviendo el ejercicio aplicando el I Método:

Luego sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)

S²x = [(NΣ (Fi . Xi²) - (Σ (Fi . Ȳ)² )] /  N – 1    

Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula y tenemos que:

S²x = [50(25.965) - (1055)² )] /  50 – 1 

S²x = [ 1.273.250 – 1.113.025] /  49    

Varianza

S²x = 65,39

 

Desviación Típica es:   

Sx =  Ѵ ( S²x ) 

Sustituimos el valor de la Varianza en la fórmula y tenemos que:

Sx =  Ѵ ( 65,39 )= 8,08

Sx =  8,08

 

II MÉTODO:

Fórmulas que se aplican:

Para Muestra

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . di²) - (Σ (Fi . di)² )] /  N – 1    

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Para Población

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . di²) - (Σ (Fi . d)² )] /  N    

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Resolviendo el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda para luego sustituir y calcular. Antes, debemos escoger un punto medio cualquiera e identificarlo y lo llamaremos “A”. Fijense que en la tabla siguiente el punto medio escogido fue 24 y lo identificamos con la letra “A”. Definimos a di como la diferencia de cada punto medio menos el punto medio escogido (“A”). de allí que:

di =Xi - A

 

Clases           Fi        Xi        di=Xi-24         Fi.di                (Fi. di²)

32   -   36       6          34       10                   60                   600

27   -   31       8          29       5                     40                   200

22   -   26       10       24=A   0                     0                      0

17   -   21       12       19       -5                    -60                  +300

12   -   16       5          14      -10                 -50                  +500

7     -   11        9          9          -15                -135                +2025

                        N=50                          Σ Fi.di= -145             Σ (Fi. di²)=3.625

 

Resolviendo el ejercicio aplicando el I Método:

Luego sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)

S²x = [(NΣ (Fi . di²) - (Σ (Fi . di)² )] /  N – 1    

S²x = [(50Σ (3.625) - (-145)² )] /  50 – 1

S²x = (181.250 + 21.025 ) /  49    

S²x = 65,39    

Desviación Típica es:   

Sx =  Ѵ ( S²x ) 

Sustituimos el valor de la Varianza en la fórmula y tenemos que:

Sx =  Ѵ ( 65,39 )= 8,08

Sx =  8,08   

NOTA:

LOS RESULTADOS APLICANDO EL MÉTODO 1 Y EL MÉTODO 2, SON IGUALES.

 

III MÉTODO:

Fórmulas que se aplican:

Para Muestra

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . Ui²) - (Σ (Fi . Ui)² ) / N.(N – 1) ].i²       

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Para Población

VARIANZA:                          S²x = [(NΣ (Fi . Ui²) - (Σ (Fi . Ui)² ) /  N.N ].i²           

 

DESVIACIÓN TÍPICA:       Sx =  Ѵ ( S²x ) 

 

Resolviendo el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda para luego sustituir y calcular. Antes, debemos escoger un punto medio cualquiera e identificarlo y lo llamaremos “B”. Fijense que en la tabla siguiente el punto medio escogido fue 19 y lo identificamos con la letra “A”. Definimos a Ui como la Unidad de Intervalo y en la tabla,  en el intervalo correspondiente  al punto medio escogido (“B”) colocamos un cero (0) y aumentamos la  unidad (1) cuando subimos en las clases y disminuimos la unidad (1) cuando bajamos en las clases, de allí que:

 

Clases           Fi        Xi        Ui        Fi.Ui               (Fi. Ui²)

32   -   36       6          34       3          18                   54

27   -   31       8          29       2          16                   32

22   -   26       10       24       1          10                   10

17   -   21       12       19=B  0          0                     0

12   -   16       5          14       -1        -5                    5

7     -   11        9          9          -2        -18                  36

                        N=50                    Σ Fi.Ui= 22          Σ (Fi. Ui²)= 137

 

Resolviendo el ejercicio aplicando el I Método:

Luego sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)

S²x = [(NΣ (Fi . Ui²) - (Σ (Fi . Ui)² )] /  N.(N – 1) ] . i²  

S²x = [(50Σ (137) - (21)² ) / 50.( 50 – 1) ] . 5²  

S²x = (1.050+ 441 ) / 2450  ] . 5²  

S²x = 65,39    

Desviación Típica es:   

Sx =  Ѵ ( S²x ) 

Sustituimos el valor de la Varianza en la fórmula y tenemos que:

Sx =  Ѵ ( 65,39 )= 8,08

Sx =  8,08   

 

NOTA:

LOS RESULTADOS APLICANDO EL MÉTODO 1,  EL MÉTODO 2 Y EL MÉTODO 3 SON IGUALES. LO QUE QUIERE DECIR QUE LA VARIANZAY LA DESVIACIÓN TÍPICA TIENEN UN ÚNICO VALOR PARAR CADA CONJUNTO DE DATOS.