RECORRIDO VERDADERO
2. DESVIACIÒN
MEDIA
3. VARIANZA
Y DESVIACIÓN TÍPICA
MEDIDAS
DE VARIABILIDAD:
Tratan
de medir el grado de concentración o
dispersión de los datos de una serie, es decir, miden el grado en el que los
datos de la serie se encuentran cercano o alejados entre si o de alguna medida
de tendencia central.
RECORRIDO
VERDADERO:
Indica
la longitud del intervalo en el cual se encuentran todos los datos de la serie,
por ejemplo:
X : 28, 27, 15, 16, 14,18, 21, 30
El
recorrido verdadero puede calcularse aplicando la siguiente formula:
Si la variable es discreta:
Rv= Vmax – Vmin
Rv= 30 – 14
Rv= 16
Rv 14
30
Si la variable es contínua:
Rv= Vmax – Vmin + S
Rv= 30 – 14 + 1
Rv= 17
Rv 13,5 30,5
NOTA:
Mientras
no se diga lo contrario supondremos que la variable es continua.
El
Recorrido Verdadero es la medida de variabilidad más sencilla de calcular, sin
embargo esta ventaja se transforma en una desventaja ya que sólo toma en cuenta
los valores extremos de la serie (Valor Máximo y Valor Mínimo) y no proporciona
información acerca de los datos centrales de la distribución.
DESVIACIÓN
MEDIA:
Es
el promedio de las distancia de cada uno de los valores de la serie a la Media
Aritmética de los datos. Es decir, dada una serie de datos X1, X2,
X3, …Xn con Media Aritmética (X), entonces:
∑ (Xi-Ȳ))/N
Dónde
aparece el símbolo Ȳ, debería ser el
símbolo para la Media Aritmética
Ejemplo:
Dada
una serie de datos, determine el valor de
la Desviación Media.
Xi=
16, 15, 10, 18,12
Dónde
aparece el símbolo Ȳ, debería ser el
símbolo para la Media Aritmética
Xi Fi Xi-Ȳ Ӏ Xi - ȲӀ
18 1 3,8 3,8
16 1 1,8 1,8
15 1 0,8 0,8
12 1 -2,2 2,2
10 1 -4,2 4,2
Σ Xi =71
N=5 Σ Ӏ
Xi - ȲӀ= 12,8
Ȳ= ∑
Xi /N = 71 /5 = 14,2
∑ (Xi- Ȳ))/N = 12,8 / 5 = 2,56
Cuando comparamos los resultados algunas serie de
datos, se puede observar que a mayor valor de la Desviación Media se puede deducir mayor será la separación de los datos (mayor
dispersión) con respecto a la Media Aritmética de esa serie y viceversa, a
menor valor de la Desviación Media se
puede deducir menor será la separación
de los datos (menor dispersión) con respecto a la Media Aritmética de esa
serie.
VARIANZA
Y DESVIACION TÍPICA (O ESTANDAR)
Ambas
medidas se encuentran estrechamente relacionadas. La fórmula para proceder a su
cálculo es la siguiente:
PARA
DATOS NO AGRUPADOS:
Para Muestra:
VARIANZA: S2x
= (Σ (Xi- Ȳ)2
)
/ N – 1
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Raíz
(Σ (Xi- Ȳ)2
/ N – 1)
Para Población:
VARIANZA: ẟ2x = (Σ (Xi- Ȳ)2
)
/ N
DESVIACIÓN TÍPICA: ẟ x = Ѵ2 (Σ (Xi- Ȳ)2
/ N)
NOTA:
Mientras
no se diga lo contrario supondremos que la variable es continua.
Ejemplo:
Determínese
el valor de la Varianza y la Desviación Típica del siguiente conjunto de datos:
Xi =
7, 10, 8, 6, 4, 5
Xi Fi Xi-Ȳ (Xi -
Ȳ)2
10 1 3,4 11,56
8 1 1,4 1,96
7 1 0,4 0,16
6 1 -0,6 0,36
5 1 -1,6 2,56
5 1 -2,6 6,76
Σ Xi =40
N=6 Σ (Xi - Ȳ)2= 23,76
VARIANZA:
S2x = (Σ (Xi- Ȳ)2
)
/ N – 1
S2x = (23,76
)
/ 6 – 1
S2x = (23,76
)
/ 5
S2x = 4,672
DESVIACIÓN TÍPICA:
Sx =
Raíz (Σ (Xi- Ȳ)2
/ N – 1)
Sx =
Raíz (4,672) = 2,161
CÁLCULO
DE LA VARIANZA Y DESVIACION TÍPICA (O ESTANDAR)
PARA
DATOS AGRUPADOS EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA:
Estudiaremos
3 métodos. Los dos primeros métodos se pueden aplicar en Distribuciones de
Frecuencia de cualquier tipo (con intervalos de igual o diferente amplitud) y
el tercer método sólo puede ser aplicado a Distribuciones de Frecuencia que
presentan intervalos de igual amplitud.
Consideremos
la siguiente Distribuciones de Frecuencia:
Clases Fi
32 - 36 6
27 - 31 8
22 - 26 10
17 - 21 12
12
-
16 5
7 -
11 9
N=50
Resolveremos
el ejercicio en la medida que vamos aplicando los 3 métodos.
I MÉTODO:
Fórmulas
que se aplican:
Para Muestra
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. Xi2)
- (Σ (Fi
. Ȳ)2
)]
/ N – 1
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Para Población
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. Xi2)
- (Σ (Fi
. Ȳ)2
)]
/ N
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Resolviendo
el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda
para luego sustituir y calcular.
Clases Fi Xi Xi.Fi Xi2 (Fi. Xi2)
32 - 36 6 34 204 1156 6936
27 - 31 8 29 232 841 6628
22 - 26 10 24 240 576 5760
17 - 21 12 19 228 361 4332
12 - 16 5 14 70 196 980
7 -
11 9 9 81 81 729
N=50 Σ Xi.Fi=1055 Σ (Fi. Xi2)=25.965
Resolviendo
el ejercicio aplicando el I Método:
Luego
sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)
S2x
= [(NΣ (Fi
. Xi2)
- (Σ (Fi
. Ȳ)2
)]
/ N – 1
Sustituimos los valores de la tabla en la
fórmula y tenemos que:
S2x = [50(25.965)
- (1055)2
)]
/ 50 – 1
S2x = [ 1.273.250
– 1.113.025]
/ 49
Varianza
S2x = 65,39
Desviación Típica es:
Sx = Ѵ
( S2x )
Sustituimos el valor de la Varianza en la
fórmula y tenemos que:
Sx = Ѵ
( 65,39
)= 8,08
Sx =
8,08
II MÉTODO:
Fórmulas
que se aplican:
Para Muestra
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. di2)
- (Σ (Fi
. di)2
)]
/ N – 1
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Para Población
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. di2)
- (Σ (Fi
. d)2
)]
/ N
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Resolviendo
el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda
para luego sustituir y calcular. Antes, debemos escoger un punto medio
cualquiera e identificarlo y lo llamaremos “A”. Fijense que en la tabla
siguiente el punto medio escogido fue 24 y lo identificamos con la letra “A”.
Definimos a di como la diferencia de cada punto medio menos el punto medio
escogido (“A”). de allí que:
di
=Xi - A
Clases Fi Xi di=Xi-24 Fi.di (Fi.
di2)
32 - 36 6 34 10 60 600
27 - 31 8 29 5 40 200
22 - 26 10 24=A 0 0 0
17 - 21 12 19 -5 -60 +300
12 - 16 5 14 -10 -50 +500
7 -
11 9 9 -15 -135 +2025
N=50 Σ Fi.di= -145 Σ (Fi. di2)=3.625
Resolviendo
el ejercicio aplicando el I Método:
Luego
sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)
S2x = [(NΣ (Fi
. di2)
- (Σ (Fi
. di)2
)]
/ N – 1
S2x = [(50Σ (3.625)
- (-145)2
)]
/ 50 – 1
S2x = (181.250
+ 21.025
)
/ 49
S2x = 65,39
Desviación Típica es:
Sx = Ѵ
( S2x )
Sustituimos el valor de la Varianza en la
fórmula y tenemos que:
Sx = Ѵ
( 65,39
)= 8,08
Sx =
8,08
NOTA:
LOS RESULTADOS APLICANDO EL MÉTODO 1 Y EL
MÉTODO 2, SON IGUALES.
III MÉTODO:
Fórmulas
que se aplican:
Para Muestra
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. Ui2)
- (Σ (Fi
. Ui)2
)
/
N.(N – 1) ].i2
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Para Población
VARIANZA: S2x
= [(NΣ (Fi
. Ui2)
- (Σ (Fi
. Ui)2 )
/ N.N ].i2
DESVIACIÓN TÍPICA: Sx = Ѵ
( S2x )
Resolviendo
el ejercicio, debemos calcular antes de aplicar la fórmula, todo lo que demanda
para luego sustituir y calcular. Antes, debemos escoger un punto medio
cualquiera e identificarlo y lo llamaremos “B”. Fijense que en la tabla
siguiente el punto medio escogido fue 19 y lo identificamos con la letra “A”. Definimos
a Ui como la Unidad de Intervalo y en la tabla,
en el intervalo correspondiente
al punto medio escogido (“B”) colocamos un cero (0) y aumentamos la unidad (1) cuando subimos en las clases y
disminuimos la unidad (1) cuando bajamos en las clases, de allí que:
Clases Fi Xi Ui Fi.Ui (Fi. Ui2)
32 - 36 6 34 3 18 54
27 - 31 8 29 2 16 32
22 - 26 10 24 1 10 10
17 - 21 12 19=B 0 0 0
12 - 16 5 14 -1 -5 5
7 -
11 9 9 -2 -18 36
N=50 Σ Fi.Ui= 22 Σ (Fi. Ui2)= 137
Resolviendo
el ejercicio aplicando el I Método:
Luego
sustituimos en la fórmula. (Supondremos que es una muestra)
S2x = [(NΣ (Fi
. Ui2)
- (Σ (Fi
. Ui)2
)]
/ N.(N – 1) ] . i2
S2x = [(50Σ (137)
- (21)2
)
/
50.( 50 – 1) ] . 52
S2x = (1.050+
441
)
/
2450 ] . 52
S2x = 65,39
Desviación Típica es:
Sx = Ѵ
( S2x )
Sustituimos el valor de la Varianza en la
fórmula y tenemos que:
Sx = Ѵ
( 65,39
)= 8,08
Sx =
8,08
NOTA:
LOS RESULTADOS APLICANDO EL MÉTODO 1, EL MÉTODO 2 Y EL MÉTODO 3 SON IGUALES. LO QUE
QUIERE DECIR QUE LA VARIANZAY LA DESVIACIÓN TÍPICA TIENEN UN ÚNICO VALOR PARAR
CADA CONJUNTO DE DATOS.
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