UNIDAD II - MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

UNIDAD II: : Medidas de Tendencias Central.

1.-  Media Aritmética. Conceptos, Propiedades, Cálculo y Análisis de los resultados.
2.- Moda. Conceptos, Propiedades, Cálculo y Análisis de los resultados.
3.- Mediana. Conceptos, Propiedades, Cálculo y Análisis de los resultados.

Medidas de Tendencia Central

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
La medidas de Tendencia Central son:

Media aritmética: La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana: La mediana es la puntuación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución.


Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
La medidas de posición son:

Cuartiles:Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles: Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles: Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
MODA (PARA DATOS NO AGRUPADOS)
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la serie de datos:
Xi: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5        Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal, si son tres las que mas se repiten será trimodal y cuando se mayo a cuatro el número de Mo, generalizaremos diciendo que es  multimodal o polimodal, es decir, que tiene varias modas.
Yi: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9      Mo= 1, 5, 9 (trimodal)
Nota: Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
Zi: 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Cálculo de la moda para datos agrupados

Debemos considerar que todos los intervalos tienen la misma amplitud. Por tal motivo y para efectos de nuestro curso, consideraremos que la Mo es el punto medio (xi) del intervalo que presente la mayor frecuencia. considerando también el caso en que la mayor frecuencia puede presentarse en mas de un intervalo (como ocurría para los datos no agrupados) en cuyo caso una distribución pudiera presentar mas de una mida.
Clases 
fi
72 - 73
8
69 - 71
27
66 - 68
42
63 - 65
18
60 - 62
5

100

El intervalo en el que se encuentra la mayor frecuencia es en  66 - 68,  donde fi es 42, para determinar la moda de esta distribución será necesario calcular el punto medio de ese intervalo:
 Xi = (66 + 68) / 2 = 67
Xi =67
por tanto, la moda de esta distribución es Mo = 67
MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. Es decir divide a la serie en dos partes iguales en la que el 50% de los datos están por debajo de la Md y el otro 50% está por encima de ella.
La mediana se representa por Md.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6    Md= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12   Md= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre el 50% de los datos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
Clases
fi
Fac
72 - 74
8
100
69 - 71
27
92
66 - 68
42
65
63 - 65
18
      23
60 - 62
5
5

100


El procedimiento es igual al utilizado para calcular el Percentil cincuenta (Pc 50). para ello debemos determinar el 50% de los datos.
el 50% de los  100 datos es 50, entonces debemos hallar la puntuación que deja por debajo de ella al 50 % de los datos (el otro 50% está por encima)

Definición de media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
µx es el símbolo de la media aritmética para población.
 es el símbolo de la media aritmética para población.
Su fórmula estará dada por la siguiente ecuación:

NOTA. Mientras no digamos lo  contrario supondremos que estamos trabajando con una muestra.

Calculo de media aritmética para datos NO agrupados:
Ejemplo
Los tiempos de diez vehículos en hacer un determinado recorrido son: 39, 29, 43, 52, 39, 44, 40, 31, 44, 35 minutos. Hallar el tiempo medio.

Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
= ( ∑xi . fi ) / N 
= (x1f1 + x2f2 + x3f3 +....+xnfn) / N

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